數(shù)學家：大海撈針不稀奇，最普通東西的才最難找
「我們就像在用磁鐵找東西，但磁鐵根本沒法吸住干草，所以你能找到的就只有針了?！?/span>
編譯 | 一塊肉餅
“這簡直就像是在干草堆里找一根干草。”[1]
當我第一次從一位數(shù)學家口中聽到這話時，我們正在通電話，討論如何尋找具有特定特征的某種形狀——我想，這家伙一定口誤了。
“你是想說，就像在干草堆里找一根針，對么？”我?guī)缀趺摽诙觥?/span>
但他把剛剛的話又重復了一遍。
在數(shù)學中，最套路的思維方式往往會深深留在人們腦中。和我談話的那位數(shù)學家是來自肯塔基大學（University of Kentucky）的Dave Jensen。他的的確確就是在說“在干草堆里找干草”。他試圖用這樣一個短語來描述數(shù)學研究中一個奇怪的事實：有時候，最普通的東西最難找。
“在數(shù)學的許多領域里，你都在尋找某種事物的例子。這樣的例子數(shù)不勝數(shù)。但每當你想把它寫下來的時候，就會發(fā)現(xiàn)自己弄錯了?！盝ensen說道。
早在我們孩提時代初學數(shù)學時，“干草堆里找干草”的現(xiàn)象就已經(jīng)出現(xiàn)了。數(shù)軸（此處特指實數(shù)軸）上的點包括正負整數(shù)（如2，-29），有理數(shù)（如32/1137），以及所有的無理數(shù)（如π和根號）。無理數(shù)占據(jù)了數(shù)軸上許多、許多的空間——事實上，如果要在數(shù)軸上隨機挑選一個數(shù)，100%你會得到一個無理數(shù)。
為什么是100%而不是99.9%？當“無窮”這個東西出現(xiàn)在概率中時，奇怪的事情就發(fā)生了。二十世紀初，法國數(shù)學家亨利·勒貝格（Henri Lebesque）提出了一種“測量手段”，讓人們能夠面對“無窮種可能性”時也能在數(shù)學層面上嚴格地計算概率。這種方法被稱為勒貝格積分。
但即便無理數(shù)壓倒性地存在于世，我們卻幾乎從未在日常生活中遇見它們。我們用整數(shù)進行計數(shù)，用分數(shù)解決問題。我們最熟悉的數(shù)字其實都是數(shù)軸上的稀客——干草堆里頭的針。
正因為干草過于普通，才難以被找到。有理數(shù)的特征是，它們可以被準確地寫下來，從而引起人們的注意。而無理數(shù)有無窮盡的小數(shù)位，即便你有無窮盡的時間，也不可能把它們?nèi)珜懴聛?。這些無理數(shù)缺少的恰恰是一種無以倫比的性質(zhì)：“可寫性（write-down-able-ness）”——這是它們“隱形”的秘訣。
“我們就像在用磁鐵找東西，但磁鐵根本沒法吸住干草，所以你能找到的就只有針了?！睌?shù)學家Dhruv Ranganathan如是說。
“找干草”這件事其實出現(xiàn)在數(shù)學的眾多領域里。在極少情況下，物體可以用簡單的公式來表示：直線，拋物線，圓形和球體。它們就是“針”，也為我們所熟悉。
但成百上千的圖形拒絕被如此優(yōu)雅的方式所代表。它們可能出現(xiàn)在任何地方，但因為你無法建立公式去描述它們，你便無法證明它們中的任何一個是否真的存在，哪怕一個都不能。
數(shù)學中有一個叫做“熱帶幾何（tropical geometry）”的領域，是代數(shù)幾何中的一個重要分支。它首次由巴西數(shù)學家、計算機科學家 Imre Simon 于 1980 年代提出。“熱帶”一詞來自于當時數(shù)學界對巴西的刻板印想。熱帶幾何為我們提供巧妙而狡猾的方法，來推斷這些無所不在且又如無理數(shù)一般“普通”的幾何圖形——寫不出來也好，畫不出來也罷，它們一直都在那里。
人們常常會遇到“要么這個東西存在”和“要么這個東西不存在”這樣非黑即白的情況。雖說很難去判斷那些“普遍”的東西的存在與否，但如果你是一個數(shù)學家，你相信它們是存在的，相信它們具有組成任何事物的能力，你的任務就非常簡單：找一個出來吧。
Ranganathan說道，“這就像你堅信大海里都是水。但每當去取海水的樣品時，得到的卻是些出乎意料的東西：貝殼、石頭還有海藻。但是堅持你的設想，不代表你要把整個海都掏個干凈。你需要做的有且只有一件事——找到水，一滴就足夠了?！?/p>
[1] 原文為“It’s like looking for hay in a haystack.” 這句英文俚語常被翻譯為“大海撈針”。但有趣的是，在本文中，“針”反而是最容易被找出來的。
參考資料
https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-cant-find-the-hay-in-a-haystack-20180917/
https://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Lebesgue
https://en.wikipedia.org/wiki/Tropical_geometry
https://www.quantamagazine.org/tinkertoy-models-produce-new-geometric-insights-20180905/
文章頭圖及封面圖片來源：《芝麻街》
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