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撰文 | 湯濤 姚楠

（本文轉載自《數學文化》第一卷第2期）

在人的一生中，機遇與際遇如同兩個孿生兄弟，如影相隨。有時候，一個偶然的機遇會讓人生的際遇改變；有時候，人生的際遇又會讓失去的機遇重生。

也許，一個人曾經無數次地與機遇擦肩而過，無數次地與機遇失之交臂，但只要有一次握住了機遇的手，整個的人生際遇就會從此改變。

有限元對于馮康來說就是改變了他人生際遇的一次機遇。沒有有限元，馮康的名字在今天就不會被人們一次次地提起。

沒有有限元，馮康也就不會傲然地站在世界級數學大師之列。

盡管有限元的發(fā)現(xiàn)蘊含了一個又一個曲折的故事，盡管有限元的開發(fā)凝結了太多太多科學工作者的心血與智慧，盡管有限元的發(fā)展引發(fā)了學術界的爭議與個人的恩怨，然而，當我們逐步抽絲剝繭，試圖還原有限元發(fā)現(xiàn)前后的真實故事，我們發(fā)現(xiàn)，原來所有的一切都無法遮擋馮康的光芒。

馮康以他獨有的數學高度與思想，不但發(fā)現(xiàn)并找到了這片數學王國的“美麗花園”，并且還給出了關于有限元方法充足的理論根據。馮康的高度與深度是同時代的許多研究者所無法超越的，他也因此贏得了國際聲望與多位世界級數學大師的尊敬。

重拾有限元的故事，我們依舊要回到那令馮康激情燃燒的火紅年代……

“黃河的水嘩啦啦地流，流過一個美麗的地方，流過一道神奇的峽谷……”大多數人對于劉家峽的記憶都始于小學的語文課本。2008年，一首迅速唱紅的歌曲《美麗的劉家峽》再度勾起人們對于這顆“黃河明珠”的向往與回憶。

今天，當我們乘船沿著黃河溯流而上，行至甘肅省永靖縣內，豁然見到兩岸奇峰對峙、壁立千仞、風景奇?zhèn)延^。九曲黃河水陡然在這里轉了一個九十度的急彎，向西奔流入峽。這里就是著名的劉家峽。

從空中俯瞰劉家峽水電站的景色

人們記住劉家峽不僅僅是因為它陽剛與陰柔兼?zhèn)涞钠嫣鼐坝^，更因為它包含了讓許多中國人倍感自豪與驕傲的火紅記憶。

劉家峽水電站是中國第一座超過百萬千瓦級的大型水電站，也是中國第一個自己設計、施工、建造的超過百米的大型混凝土壩。從1958年9月27日劉家峽大壩紅紅火火地破土動工，到1966年10月劉家峽大壩順利實現(xiàn)截流成功。1968年10月水庫正式蓄水，1969年4月1日第一臺機組發(fā)電……這一連串令人驕傲的事件曾經許久地激蕩在人們的心中。

然而，人們也許還并不知道，這個令人驕傲的宏偉工程在建設中也不是一帆風順的。50年代末至60年代初，劉家峽大壩遇到了一系列設計計算和建設方面的難題，造成大壩工程進展緩慢。

在中科院計算所，三室二組的主要任務之一就是承擔水壩工程的計算問題。

三室二組最早進行水壩計算的是李旺堯。1958年李旺堯下放勞動，未完成的計算由黃鴻慈接手。在劉家峽大壩工程計算之前，黃鴻慈已經進行過廣東河源新豐江水壩、云南威信扎西壩等水壩工程的計算。他運用以往的計算經驗與蔡中雄、詹重禧（在計算所進修）一起編寫了兩個計算標準程序。其數學模型主要是重調和方程。據崔俊芝介紹，黃鴻慈等人編寫的十三點差分格式應力函數計算程序質量非常高，已經達到了指令級程序的最優(yōu)化。這兩個程序為其后二組其他同事進行水壩計算奠定了良好的基礎。

1963年，中科院對各科研單位提出了系統(tǒng)研究的要求，即以完成國家重大需求任務為目標，開展系統(tǒng)研究，解決國家發(fā)展中困難的科學問題。中科院提出的口號是“以任務帶學科”。在當時的三室中，黃鴻慈應當說是既有超強的理論能力又有實戰(zhàn)經驗的骨干，深得馮康的欣賞，他也因此受命擔當由馮康倡導成立的第七研究組的組長。黃鴻慈調任七組之后，二組接替他進行水壩計算任務的就是剛剛由西北工業(yè)大學分配來的年輕人崔俊芝。

1963年2月，剛剛過了農歷新年，劉家峽大壩設計組的副組長朱昭鈞工程師找到了計算所三室，請求幫助解決劉家峽大壩的應力分析問題。研究室把這項計算任務交給了崔俊芝。

朱工首先向崔俊芝介紹了他們采用的弓冠量分配計算方法，崔俊芝很快發(fā)現(xiàn)用這種方法形成的系數矩陣是病態(tài)的，于是他轉而使用主元素消去法去求解弓冠量方法導出的病態(tài)線性方程組。病態(tài)問題雖然解決了，但是對計算結果進行應力校核，發(fā)現(xiàn)局部應力總是不平衡。于是，崔俊芝對弓冠量計算方法產生了懷疑。接著，崔俊芝在蔡中熊的幫助下利用黃鴻慈等人編寫的應力函數法標準程序進行了計算，但算出來的結果仍然不能做到局部區(qū)域應力平衡。

崔俊芝今天回憶起來仍然認為，當時之所以計算的結果不理想，是因為采用十三點差分格式的應力函數計算程序來進行水壩應力分析。得不到滿意的結果的主要原因是全部采用了正方形網格，水壩的邊界不可能與網格線重合。黃鴻慈回憶說，內節(jié)點用差分逼近，邊界節(jié)點不得不使用外推插值處理，這種不統(tǒng)一、不協(xié)調的處理方式也是造成計算結果不理想的原因。

除了計算方法之外，計算機儲存量的限制也是造成計算難題的重要原因，當時的計算機全部數據與程序加起來不能超過2048個內存單元。崔俊芝稱那是一個很艱苦的程序設計年代，因為當時編程序都用機器原碼，輸入都用紙帶穿孔。

1950年代編寫程序相當地辛苦。沒有匯編，沒有C，也沒有C++。當時的那種編程并不是今天這樣的“寫”程序，也不是在自己家里或是辦公桌上就可以做的，而是要用機器語言來編，要到保安極強的機房里換上白大褂去工作的！也就是說，編出程序除了寫在紙上，更重要的是穿成紙帶，即在紙帶上打出一系列的小孔（修改程序就是給紙孔打補?。?/span>。程序員需要先將計算機的指令換算成二進制數字，然后把二進制數字組成這些小孔，每個小孔代表一個信號；數十個小孔構成一條指令，驅使計算機做一個動作！這個方法一直延續(xù)到1980年初，筆者之一曾于1983年在北京大學的機房里穿過幾個月的孔，在龐大的機房里體驗過那時編程的艱辛。

正當崔俊芝對于水壩計算問題一籌莫展的時候，馮康在計算所的一次學術報告上重點講述了一篇文章，這篇文章讓崔俊芝茅塞頓開。經過了漫長的黑暗摸索，崔俊芝終于看到了光亮與希望。

作為三室全面的業(yè)務指導，馮康經常要在三室或者全所范圍內作學術報告，分享一些他近期研究以及讀書的心得。在一次報告中，馮康提到的是Synge的一篇文章，并提出把微分方程寫成變分形式，用變分的原理來推導差分格式。

馮康提到的那篇文章是Prager和Synge于1947年發(fā)表在美國《應用數學季刊》上的一篇文章。Synge在應用數學和力學方面作過很多杰出的工作，也是錢偉長院士在多倫多大學讀博士時的導師。他本人后來當選為英國皇家協(xié)會院士。他的二女兒CathleenMorawetz是柯朗數學研究所的著名教授，曾任美國數學學會會長，并當選為美國科學院院士。他的叔父約翰?辛格（JohnM.Synge）是愛爾蘭著名詩人，也是英國皇家協(xié)會院士，代表作品包括《西方世界的花花公子》和《騎馬下海的人》。他的另外一個遠親曾獲1952年諾貝爾化學獎。所以這也是一個傳奇的文化世家。

馮康的這次報告給了黃鴻慈和崔俊芝等人很大的啟發(fā)，他提出的用變分原理進行差分計算的思想為許多年輕學者提供了新的研究方向。

有限元計算大壩的三維網格。1960 年代的網格僅僅是二維的。

1963年夏天，在馮康的帶領下，三室的同事們掀起了鉆研與探討差分方法的熱潮。他們從中科院的圖書館借來美國的Forsythe和Warsow二人于1960年寫的一本書，叫做《偏微分方程的差分方法》。書中有兩個關于橢圓方程計算的章節(jié)，講到了變分差分格式。三室的同事們如饑似渴地爭相閱讀這本書，由于當時沒有復印機，他們就自己抄公式、刻鋼板，進行油印。

1963年水壩問題的計算已經由二組上升成為三室亟待解決的攻堅難題。

在馮康的籌劃部署下，二組的水壩計算組分成三個小組，從三個不同方向對水壩計算進行系統(tǒng)研究。

三個小組的劃分如下：二組副組長林忠楷帶領一個小組，把大壩的基礎砍掉，用應力函數的方法進行計算；二組組長魏道政帶領一個小組，從平衡方程出發(fā)，把應力——應變關系代進拉梅方程進行計算，崔俊芝在這個小組。剩下的一個小組由蔡中熊帶領，王藎賢在這個小組，從變分原理出發(fā)，直接用位移差商代替位移導數進行計算。三個小組要定期交流，并將結果向馮康匯報。

1963年10月，魏道政突發(fā)急性肝炎，住進了北京郊區(qū)潭柘寺醫(yī)院。崔俊芝只好帶著由魏道政指導畢業(yè)設計的科大64屆畢業(yè)生魏學玲繼續(xù)進行計算。為了盡可能地保證在壩體內部任意局部區(qū)域上的應力平衡性，崔俊芝與魏學玲采用了基于拉梅方程的積分守恒的差分格式，內部采取不等距矩形網格，邊上采用三角形網格，使所有計算節(jié)點都落在壩體內部或邊界上。二人分工合作，終于在1964年春天來臨的時候算出了一組新的結果——利用積分守恒格式的計算結果。經過細致地應力校核，其結果不僅在邊界節(jié)點附近應力是基本平衡的，且在壩體內部任意局部區(qū)域上的應力也是基本平衡的。

當崔俊芝把這樣的計算結果交給劉家峽水壩工程設計組的人員時，他們露出了滿意的笑容。

在獲得用戶滿意的計算結果之后，崔俊芝對原來由他和魏學玲合作編制的程序進行了重大的修改，采用標準化的信息格式，編制出了第一個平面應力分析標準程序（104計算機版本）；同年，崔俊芝還編制了平面應力分析標準程序（119計算機版本）。利用這兩個程序，崔俊芝為劉家峽工程計算了多個（不少于十個）設計方案。

與此同時，崔俊芝和王藎賢一起，把基于積分守恒格式的差分格式和基于變分原理的差分格式一一進行了對比，發(fā)現(xiàn)在邊界節(jié)點上其差分格式是一致的；它們正是后來“有限元法”得到的邊界節(jié)點上的差分格式；對于內部節(jié)點的差分格式也進行了組合優(yōu)化，形成了當時認為是最好的差分格式。以這些差分格式為基礎，崔俊芝、王藎賢、趙靜芳三人合作編制了另一個平面應力分析標準程序（109-乙計算機版本）。利用這個程序，他們?yōu)槎鄠€不同類型的結構工程進行了平面應力分析。

1964年“五?一”節(jié)，對于三室的同事來說心里是暖洋洋的，經過多年的刻苦攻關、廢寢忘食，水壩計算的系統(tǒng)研究終于有了結果，劉家峽大壩的應力分析已經使用戶滿意?！拔?一”過后不久，在計算所302房間，馮康、黃鴻慈、崔俊芝等人激動地向劉家峽大壩工程設計組的負責人員進行了匯報。

破解劉家峽大壩應力分析的計算難題是計算所三室對社會主義經濟建設的一大貢獻。1966年10月劉家峽大壩截流成功時，三室有關人員曾收到一份落款為“中共中央、國務院、中央軍委、中央文革小組”的明碼電報，祝賀和表彰計算所三室在劉家峽水電工程建設中的突出貢獻。

人們原本以為，破解了劉家峽水壩的計算難題，事情就應該畫上了一個圓滿的句號。誰知，時隔不久，由劉家峽大壩的計算更引發(fā)了另一個美麗的結局。

馮康在指導與總結劉家峽水壩計算的過程中，發(fā)現(xiàn)了一整套求解偏微分方程邊值問題的計算方法，一個用變分原理進行差分計算的方法。即通過剖分插值，構建分片多項式的函數空間，來求解偏微分方程。這就是著名的有限元方法。雖然馮康當時把它叫做基于變分原理的差分方法。這一方法的發(fā)現(xiàn)在計算數學領域中引起了強烈的震動。

早在1962年2月，黃鴻慈在《計算機動態(tài)》的《計算數學》?？邪l(fā)表了一篇題為“求解重調和方程最小特征值問題的一種差分方法”的論文，文中提出一種求解四階微分方程的C1-元（即導數連續(xù)的分片多項式空間）方法。這篇文章被稱為“具有早期有限元的思想”，后來也成為有限元方法報獎的四篇文章之一。當時，馮康對黃鴻慈的這篇文章大加贊賞，黃還因此被提升為助理研究員，獲得了晉升兩級工資的嘉獎。

1964年10月，為迎接即將在哈爾濱舉行的全國計算機會議，三室先召開了一個預備會議。會上，黃鴻慈和崔俊芝分別作了關于理論和計算方面的報告。黃鴻慈的報告主要講了拉普拉斯（Laplace）方程和平面彈性問題的離散方法的誤差估計，但是在較強的解的光滑性條件下完成的。黃對這個結果很滿意，還專門向馮康單獨匯報了這個結果并征求他的意見。令黃費解的是，馮康聽后表現(xiàn)得很冷淡，并沒有象兩年前給他提工資那次那樣熱情。一年后，黃鴻慈了解到，其實馮康當時正有一個從廣義函數出發(fā)的收斂性證明，也是他那篇偉大的開創(chuàng)性文章中講述的工作。只不過這一次馮康并沒有和黃交流。

1965年5月，全國計算機會議在哈爾濱召開。由于當時黃鴻慈已經去河南信陽“四清”勞動，他沒有機會聽到馮康那篇精彩的報告。后來馮康的報告又以論文的形式發(fā)表在1965年第4期《應用數學與計算數學》期刊上，題為“基于變分原理的差分格式”。而根據張克明等三室領導決定，黃和崔俊芝兩人需要把1964年10月在三室作的報告刪改合并，發(fā)表于1966年第1期的同一個期刊上，題為“求解平面彈性問題的差分方法”，論文的合作者還有王藎賢、趙靜芳、林宗楷。

馮康 1965 年論文的英譯版

黃鴻慈、王藎賢、崔俊芝等人的文章給出了有限元方法的誤差估計，這是文獻可查的非常早的誤差估計結果，但是在較強的解的光滑性假定下獲得的。而馮康在其論文中，用高深的數學理論，在極其廣泛的條件下證明了方法的收斂性和穩(wěn)定性，建立起有限元方法嚴格的數學理論框架，為有限元方法的實際應用提供了可靠的理論基礎。這篇論文被公認為是中國學者先于西方創(chuàng)造有限元方法理論的標志。

由于黃鴻慈的文章沒有單獨發(fā)表，他也懷疑是馮康從中作梗，因此也為馮康與黃鴻慈多年后的恩恩怨怨埋下了伏筆。馮康的這篇文章與黃鴻慈等人的文章最終成為了有限元報獎的重要材料。

如同任何科學技術的創(chuàng)新都是社會和科技發(fā)展的必然結果一樣，在那樣一個令人激情燃燒的年代，在一個國家呼喚計算數學飛速發(fā)展的年代，馮康團隊與他們的有限元方法呼之欲出。馮康在許多場合都反復提到他的那篇文章是在水壩計算的基礎上寫出來的，有限元方法的提出是集體智慧的結晶。

是的，應當說，如果沒有三室同事水壩計算的大量實踐，馮康就不會發(fā)展有限元方法的系統(tǒng)理論。然而，如果沒有馮康的數學境界與思想高度，也不會有有限元方法的發(fā)現(xiàn)和理論化。馮康的貢獻不僅僅是一個數學理論的證明，而是一個方法從數學角度的重新發(fā)現(xiàn)，并且使得這個方法得以更廣泛地應用。

許多國際著名科學家對馮康的這一成果都給予極高贊譽和充分的肯定，也把這一成果擺到了它應該占有的地位上。

正如我們在故事的開篇提到的，法國著名科學家、法國科學院院長里翁斯（J.L.Lions）院士贊揚馮康是在對外隔絕的環(huán)境下獨立創(chuàng)始了有限元方法，位列世界最早。曾任美國總統(tǒng)科學顧問及美國數學會會長的彼得?拉克斯（P.Lax）院士后來在紀念馮康的文章中也寫道：馮康獨立于西方并行地創(chuàng)造了有限元方法的理論，在方法的實現(xiàn)及理論基礎的創(chuàng)立兩方面都做出了貢獻。

法國科學院院長里翁斯對馮康的工作給予高度評價    

中國的國家領導人在講話中多次提到有限元的成就。

2002年5月28日，時任國家主席的江澤民在兩院院士大會上發(fā)表了重要講話，他說到：在當代世界科技發(fā)展的史冊上，我國科技工作者也書寫了光輝的篇章。在數學領域創(chuàng)立的多復變函數的調和分析，有限元方法和辛幾何算法，示性類及示嵌類的研究和數學機械化與證明理論，關于哥德巴赫猜想的研究，在國際上都引起了強烈反響。

2008年12月15日，胡錦濤主席在紀念中國科協(xié)成立50周年大會上發(fā)表講話也別提到了有限元方法，并在新中國成立以后的眾多科學成果中將其列在第一位。

有限元方法的發(fā)現(xiàn)和其數學理論讓馮康攀上了數學研究的第一個巔峰。

提到二十世紀對人類具有重大影響的發(fā)明，人們自然會聯(lián)想到飛機、電視、衛(wèi)星、電子計算機、無線通訊技術等等這些與人們近在咫尺、息息相關的發(fā)明創(chuàng)造，事實上，人們可能并不知道，在工程設計領域還有一個直接關系到國計民生的重大發(fā)明，那就是有限元方法。

有限元方法對于數學界、物理學界、工程界的人士來說是再熟悉不過的，而對于普通人來說卻顯得陌生而遙遠。其實，人們可以不知道有限元，卻一定知道今天的飛機可以造得龐大而又安全；人們可以不知道有限元，卻一定知道今天的大壩可以造得堅固而又偉岸；人們可以不知道有限元，卻一定知道今天的手機可以讓溝通變得暢快而又簡單……有限元間接地與人們的生活發(fā)生著千絲萬縷的聯(lián)系。

有限元方法的早期發(fā)展有著較漫長的歷史。

結構力學家在對飛機結構應力分析的研究中，最早導致有限元方法及其技術的誕生。飛機在載荷變化很大的環(huán)境下工作，會經受復雜的應力變化。這時，結構的承載能力、斷裂疲勞壽命、結構的可靠性和耐久性，都需要有合理的分析。這些分析，直接影響設計與制造的成本。在計算機出現(xiàn)之前，這些問題的解答主要依賴各種形式的結構實驗。由于這些實驗基本上是采用和飛機的大小差不多尺寸的模擬，因此實驗規(guī)模之大，花費之高是可想而知的。一架好端端的飛機在巨大的全機靜力試驗廠房內，通過液壓傳動的協(xié)調加載設備，在一聲巨響之下，將其拉得支離破碎，真是非常可惜。

1950年代中，美國飛機設計工程師M.J.Turner與大學教授R.J.Clough合作在1956年的《航空科學雜志》上提出了飛機結構分析的直接剛度法，同時歐洲的Argyris教授創(chuàng)導了飛機結構分析矩陣分析方法，他們被認為是當代有限元法誕生的起點。但作為一種求解數學物理問題的近似方法，這一方法的原型甚至可以從大數學家柯朗（R.Courant）1940年代發(fā)表的論文中找到。但是由于當時計算機尚未發(fā)明，柯朗的方法因計算量太大并未引起科技界的重視。

按力學應力平衡方法裝配起來的有限元系統(tǒng)，被當作為復雜結構應力-應變分析的一個近似的數學模型，是有限元化繁為簡指導思想的根本。由于幾何形狀簡單，受力變形單純，每一單元的應力—應變關系可根據有限的幾個節(jié)點位移直接地表達出來。這種按力平衡原理組合可等價為單元剛度矩陣的某種疊加，于是一個復雜的應力-應變問題能夠歸結為一個線性代數方程組問題。也正是這個原因，力學家們一開始把有限元方法叫做直接剛度法或矩陣方法。

這是結構力學家發(fā)明的有限元法的思維路線。而真正對有限元方法有所突破，并使得有限元方法得以大范圍、廣泛應用的卻是計算數學家們的貢獻。特別是中國數學家對于有限元方法的創(chuàng)導和發(fā)展具有不可磨滅的貢獻。

2005 年， 拉克斯從挪威王子手中接過約百萬美元的數學大獎， 阿貝爾獎。拉克斯對馮康的貢獻非常贊賞。

中科院計算所三室成立的主要任務是研究計算數學，計算數學作為數學的一個重要分支，研究的內容包括算法設計和算法分析。在三室，一組、二組和三組的主要研究工作是求解連續(xù)的偏微分方程問題，既把連續(xù)的偏微分方程轉換為離散的數值代數問題。這樣可以把極少可能找到解析解的連續(xù)問題轉化為離散的有限維問題，進而計算得到近似解。這個過程叫數值偏微分方程方法。

微分方程的定解問題就是在滿足某些定解條件下求解微分方程的解。在空間區(qū)域的邊界上要滿足的條件稱為邊值條件。如果問題與時間有關，在初始時刻所要滿足的條件，稱為初值條件。不含時間而只帶邊值條件的定解問題，稱為邊值問題（比如水壩應力分析問題）。與時間有關而只帶初值條件的定解問題，稱為初值問題。同時帶有兩種定解條件的問題，稱為初邊值混合問題（如天氣預報問題、石油勘測問題等）。

大多數微分方程問題往往求不出解析解，或者其解析解不易找到。所以要采用可行的數值解法。在1950年代以前，最主要的數值求解方法是有限差分方法，簡稱差分方法。它的基本思想是把問題的定義域進行矩形剖分，然后在網格點上以用網格節(jié)點上的函數值的差商替代控制方程中的導數進行離散，從而建立以網格節(jié)點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變?yōu)榇鷶祮栴}的近似數值方法，數學概念直觀，表達簡單。此外，還要研究差分格式的解的存在性和唯一性、求解方法、解的數值穩(wěn)定性、差分格式的解與原問題的真解的誤差估計，以及差分格式的解當網格尺寸充分小時是否趨于真解（即收斂性）等等。

在有限差分理論方面起到先驅作用的學者包括計算機之父馮?諾伊曼（vonNeumann），他給出了基于傅立葉級數的穩(wěn)定性分析方法。沃爾夫獎獲得者彼得?拉克斯（PeterLax）提出了等價性定理，建立了差分方法穩(wěn)定性和收斂性的內在聯(lián)系。還有俄國數學家薩馬斯基（A.A.Smarskii）院士系統(tǒng)地發(fā)展了有限差分理論。另外，馬爾丘克院士（G.I.Marchuk）提出了交替方向法，使高維度空間的差分方程求解變得更有效，后者于1980年代曾任蘇聯(lián)部長會議副主席和蘇聯(lián)科學院院長。

有限差分方法直觀、理論成熟，精度容易預測。但是對區(qū)域的規(guī)則性要求較高，對于不規(guī)則區(qū)域處理繁瑣。這些缺點已被證明可以用有限元方法來彌補。對于有限元方法，其基本思路可用下面六點說明：第一、根據變分原理建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式，這是有限元的出發(fā)點。第二、區(qū)域剖分。根據求解區(qū)域的形狀及實際問題的物理特點，將區(qū)域剖分為若干個相互聯(lián)接但又不重疊的單元。第三，確定單元基函數。根據單元中節(jié)點數目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的函數作為單元基函數。第四，單元分析。將各個單元中待求解的函數用單元基函數的線性組合進行逼近；再將近似函數帶入積分表達式，并在單元上進行數值積分，可以獲得含有待定函數節(jié)點近似值的代數方程組，稱為單元有限元方程。第五，總體合成。將區(qū)域中所有單元的有限元方程進行累加，形成總體有限元方程。第六，求解有限元方程。由于最后得到的是代數方程組，采用適當的數值代數方法，可求得各節(jié)點的函數值。這個方法最重要的優(yōu)點之一是上述的第二步，其單元可以不是矩形，這樣就可以應付任意形狀的多邊形區(qū)域。在實際計算中，有限元方法可以應用于任何的求解區(qū)域。

這些有限元方法的敘述，是我們今天在計算方法的教科書中常見的內容。

計算所三室的數學家們當時面臨解決大壩受力問題，從不同的角度也達到了有限元法的統(tǒng)一形式。馮康和他的團隊考慮的是一組描寫物理力學問題的連續(xù)的偏微分方程的近似解，將這些偏微分方程用泛函分析的方法轉化為求解能量極小的變分問題。再將所有可能的場變量局部近似，在場內每個簡單的三角形或四邊形區(qū)域上，假定場變量具有低階多項式的近似表達式。這樣，無窮自由度的問題就可以近似成有限自由度的Ritz-Galerkin問題。如前面描述的，在實際計算過程中，馮康和同事們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有的計算方法對許多問題的求解并不適用，難以滿足工程應用的實際需求。他注意到同一個物理問題可以有多個數學表達形式，而這些數學形式在理論上是等價的。過去人們在求同思維的驅使下，往往只注意早已廣為人知的微分方程形式，而不注意其它形式。計算數學家往往也只研究已有的計算方法，或從微分方程形式去構造一些新的差分格式。但馮康并不滿足于此。

求異思維使馮康決心創(chuàng)建和發(fā)展新的計算方法。既然一個物理問題可以有多個等價的數學表達形式，為什么非從微分方程形式出發(fā)呢？他注意到了久被忽視的變分形式。為了克服傳統(tǒng)計算方法難以處理幾何形狀與材料的復雜性，難以保持物理問題的主要特征，馮康開辟了橢圓型方程計算方法的系統(tǒng)研究。在大量計算經驗的基礎上，通過系統(tǒng)的理論分析及總結提高，把變分原理與剖分逼近有機結合，既保持了物理問題的主要特征，又以“分整為零、裁彎取直、以簡馭繁，化難為易”的新思路，妥善解決了幾何形狀和材料的復雜性問題，創(chuàng)造了一整套從變分原理出發(fā)求解偏分方程問題的數值方法。

馮康曾用簡單形象的比喻形容有限元方法：求解微分方程的定解問題好象是大海撈針，成功的可能是微乎其微；但有限元離散后，尋求近似解就好象是碗里撈針，顯而易見容易多了。

需要提出的是以馮康為首的中國科學院的研究集體在用計算機做水壩應力——應變分析的過程中，克服了傳統(tǒng)方法的種種缺陷，創(chuàng)造性地提出基于變分原理的差分方法。當時中國和西方的交流幾乎中斷，這個方法和西方稱為有限元的方法完全一樣。他們不僅提出了方法，而且更重要的是在世界上最先給出了這一方法的可靠性理論，開辟了有限元數學的新篇章。馮康的論文是國際公認的最早有關有限元理論的奠基性工作；在對函數解析性質要求非常一般的情形下，給出了方法的穩(wěn)定性和收斂性證明。需要指出的是，很多介紹馮康工作的文章中都提出馮康1965年的經典性文章（后由李波翻譯的英文版本Difference Scheme Based on Variational Principle全文可見http://lsec.cc.cn/fengkangprize/article.html）給出了近似解的誤差估計，但這是不符合實際的。馮康的論文并沒有給出誤差估計，這方面的工作由捷克的M.Zlamal于1968年給出（On the Finite Element Method，德國出版的《數值數學》，第12卷，394-409頁）。Zlamal(1924-1997)時任捷克布爾諾（Brno）科技大學教授。Zlamal的文章用到J.Céa于1964年用法文發(fā)表的一個重要不等式以及P.G.Ciarlet1966年的博士論文。

由中國數學家馮康等開創(chuàng)的這一研究，在其后的數十年中，捷克/美國（代表人物I.Babuska）、美國（代表人物J.Douglas和J.Bramble）、法國（代表人物P.Ciarlet和P.Raviat）、意大利（代表人物F.Brezzi）等許多學者廣泛參與，最終確定有限元的逼近性質、逼近精度、有限元尺寸和多項式階次的關系，使有限元方法實現(xiàn)質的飛躍。在這些分析中，廣義函數論、索波列夫空間理論、偏微分方程的希爾伯特空間方法等現(xiàn)代數學理論都起著重要的作用。順便說一下，前面提到的法國人P.Ciarlet2003年以后一直在香港城市大學工作，他是法國科學院院士，今年更錦上添花地成為中國科學院外籍院士。他于1970年代末寫的有限元專著，成了研究有限元理論的學者們必讀的參考書。

法國科學院院士、 中國科學院外籍院士、
香港城市大學教授 P. G. Ciarlet

時至半個世紀后的今天，有限元方法的理論不僅在應用數學領域被廣為接受，即使在純數學領域也得到認可。2002年，在北京舉行的世界數學家大會上，美國的D.Arnold作了一個小時的大會報告。在2006年西班牙馬德里舉行的世界數學家大會上，意大利的A.Quarteroni也作了一個小時的大會報告。兩個人都是有限元方面的專家。在純數學統(tǒng)治下的數學家大會上，連續(xù)兩屆有兩個一個小時的報告，足見有限元這一研究方向受到的重視程度。